Miksi on kahden negatiivisen luvun tulo positiivinen?
Seuraavat kertolaskun ominaisuudet ovat hyvin tunnettuja:
- Kahden luvun tulo on 0 aina, kun toinen tekijöistä on 0.
- Vaihdantalaki ab = ba
- Liitäntälaki (ab)c = a(bc)
- Osittelulaki a(b+c) = ab+ac
On järkevää vaatia samat ominaisuudet silloinkin, kun toinen tai
kumpikin tulon tekijä on negatiivinen.
Seuraavassa laskelmassa käytetään ominaisuuksista ensimmäistä ja
viimeistä:
0 = (+a)·0 = (+a)·[(+b)+(–b)]
= (+a)(+b)+(+a)(–b) = ab+(+a)(–b)
Koska lopussa olevan summan arvo on 0, niin sen jälkimmäisen yhteenlaskettavan
(+a)(–b) täytyy olla edellisen yhteenlaskettavan (ab) vastaluku:
Näin saatu tulos näyttää, että muutettaessa tulon (+a)(+b)
jälkimmäisen tekijän etumerkki muuttuu koko tulon etumerkki. Aivan sama
koskee tietysti myös tulon ensimmäistä tekijää, koska tekijöiden
järjestys voidaan vaihdantalain nojalla muuttaa.
Mutta jos tulosta (+a)(+b) muutetaankin molempien tekijöiden
etumerkit, ensin toisen ja sitten toisen, muuttuu tulon merkki kahdesti eli se jää
entiselleen. Saadaan siis lopputulos
Niinpä on määriteltävä kahden negatiivisen luvun tulo positiiviseksi.
Silloin ovat alussa todetut ominaisuudet voimassa kaikenlaisilla luvuilla. (Tässä
yhteydessä ei tarvittu kertolaskun liitäntälakia.)
Yllä oleva selitys on prof. K. Väisälän Algebran oppi- ja
esimerkkikirjasta.
Takaisin