Määritetään kaikki semmoiset reaalifunktiot f, jotka toteuttavat funktionaaliyhtälön

f(x+y)·f(x–y) = [f(x)]²–[f(y)]²

jokaisella x:n ja y:n reaaliarvoilla.  Oletetaan funktioitten olevan olevan kahdesti derivoituvia.

Jos ehtoon sijoitetaan  y = 0,  nähdään että  f(x)² = f(x)²–f(0)²  eli  f(0) = 0.  Sijoitus  x = 0  antaa tulokseksi  f(y)f(–y) = –f(y)², josta  f(–y) = –f(y).  Niinpä f on pariton funktio.

Derivoidaan ehdon molemmat puolet y:n suhteen ja saatu yhtälö vielä x:n suhteen:

f'(x+y)f(x–y)–f'(x–y)f(x+y) = –2f(y)f'(y)

f"(x+y)f(x–y)+ f'(x–y)f'(x+y)– f"(x–y)f(x+y)–f'(x+y)f'(x–y) = 0

Tulos sieventyy muotoon  f"(x+y)f(x–y) = f"(x–y)f(x+y)  eli  f"(x+y):f(x+y) = f"(x–y):f(x–y).  Jos merkitään  x+y = u,   x–y = v,  on tiedossa että  f"(u):f(u) = f"(v):f(v)  kaikilla u:n ja v:n reaaliarvoilla.  Tämä ei olemahdollista muutoin kuin että suhteella  f"(u):f(u)  on u:sta riippumaton vakioarvo.  On siis voimassa toisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö  f"(t)/f(t) = ±k²  eli

f"(t) = ±k²f(t),
jossa k on vakio.

On kolme tapausta:

I. k = 0. Silloin on  f"(t) = 0, joten  f'(t) = C,  f(t) = Ct.  Valittaessa C-vakio 1:ksi saadaan ratkaisufunktio  f(t) ≡ t.  Tämä antaa ehtoyhtälöstä tunnetun muistikaavan

(x+y)(x–y) = x²–y².

II. f"(t) = –k²f(t) (ja  k ≠ 0).  Yleinen ratkaisu on parittomuuden takia sinifunktio  f(t) ≡ Csin kt.  Erikoistapaus  C = k = 1  antaa ehtoyhtälöstä kaavan

sin(x+y)sin(x–y) = sin²x–sin²y.

III. f"(t) = k²f(t) (ja  k ≠ 0).  Parittomuuden takia saadaan taas yleiseksi ratkaisuksi pelkkä sinushyperbolicusfunktio  f(t) ≡ Csinh kt.  Kuten edellä, saadaan erikoistapauksena kaava

sinh(x+y)sinh(x–y) = sinh²x–sinh²y.