Reaalilukujen alueesta R, jonka muodostavat kaikki lukusuoran luvut,
päästään paljon laajempaan lukualueeseen, kompleksilukujen alueeseen
C käyttämällä apuna erikoista reaalilukuihin kuulumatonta lukua i,
jolla on se ominaisuus, että se kerrottuna itsellään antaa tulokseksi reaaliluvun –1;
siis
i² = –1.
Tarvitsee vain sopia, että i-luvun ja reaalilukujen kesken lasketaan kaikkia
neljää peruslaskutoimitusta samojen laskusääntöjen mukaan kuin pelkillä
reaaliluvuilla keskenään; noita sääntöjä ovat vaihdanta- ja
liitäntälait sekä osittelulaki; lisäksi on tarvittaessa otettava huomioon
yhtälö i² = –1. Niinpä saadaan esim.
(i+i)(3i+1)(4–2i)
= 2i(12i–6i²+4–2i)
= 2i(12i+6+4–2i) = 2i(10i+10)
= 20i²+20i
= –20+20i.
Tuo yhteen-, vähennys- ja kertolaskuja sisältänyt laskelma käy siis aivan kuten
tavallinen polynomilaskenta. Jos on mukana jakolaskua,
tähän on olemassa oma pieni niksinsä.
Laskettaessa reaaliluvuilla ja i:llä on tulos, kuten äsken, aina muotoa
a+bi,
jossa a ja b ovat reaalilukuja. Sen muotoisten lukujen
nimenä on kompleksiluku. Apuluku i on nimeltään
imaginaariyksikkö, ja se on itsekin kompleksiluku:
i = 0+1i
Myös jokainen reaaliluku a kuuluu kompleksilukuihin:
a = a+0i
Voidaan siis merkitä: R ⊂ C. Ne kompleksiluvut, jotka eivät ole
reaalilukuja, ovat imaginaarilukuja. Tällaisia ovat esim. i,
–i,
5i ja 3+4i.
Vrt.