Tavallisten rationaalisten kokonaislukujen rengas Z (eli ℤ) jakaantuu neljänlaisiin lukuihin:
Alkuluku (vir. algarv, ruots. ett primtal, saks. die Primzahl, engl. prime number, ransk. un nombre premier, kr. πρώτος αριθμός, ven. простόе числό, kiin. 素数 [sùshù]) on sellainen kokonaisluku, jolla on täsmälleen neljä erisuurta tekijää.   Esim. –19:n tekijät ovat 1, –1, 19 ja –19, joten –19 on alkuluku.   Yliset (positiiviset) alkuluvut muodostavat loputtoman jonon

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 193, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, . . .

On vastaavat aliset (negatiiviset) alkuluvut, mutta nämä ovat ylisten alkulukujen kanssa niinsanotusti liitännäisiä eli jaollisuusominaisuuksiltaan aivan samanlaisia.
Lisään alkuluvuista!   Suurin nykyisin tunnettu alkuluku (yli 12 milj. numeroa =o)
Yhdistettyjä lukuja ovat kaikki muut kokonaisluvut kuin edellä selitetyt 0, yksiköt ja alkuluvut.   Esim. 8, 15 ja –18 ovat yhdistettyjä lukuja.   Kukin yhdistetty luku on kahden tai useamman alkuluvun tulo (8 = 2·2·2,   15 = 3·5,   –18 = –2·3·3).
Yhdistetyn luvun ja alkuluvun ero on havainnollisesti siinä, että jos lukumäärä esitetään pallojen avulla, niin yhdistetyn luvun palloista voidaan muodostaa ruutu, mutta alkuluvun palloista ei ruutua saa, vaan vain pallorivin:
  8 palloa saa ruuduksi     samoin 15 palloa     7 palloa vain riviksi
    OO                               OOOOO                 OOOOOOO
    OO                               OOOOO
    OO                               OOOOO
    OO

Yritäpä tehdä 7:stä pallosta ruutu (7 on alkuluku)!  Alkuluvut ovat siis aika “alkeellisia”.



Algebralliset kokonaisluvut ovat tavallisen (rationaalisen) kokonaisluvun käsitteen eräs yleistys, samoin p-adiset kokonaisluvut.