Yhden muuttujan (x) algebrallinen yhtälö on muotoa
P(x) = 0,
missä vasemman puolen polynomin kertoimet ovat kokonaislukuja, mutt’eivät kaikki nollia.   Esim.
x²−3 = 0
on algebrallinen yhtälö, vasemman puolen kertoimina 1, 0 ja −3.   Yhtälön toteuttaa 3:n neliöjuuri (3), joka täten on eräs algebrallinen luku (engl. algebraic number, saks. die algebraische Zahl, ransk. un nombre algébrique, ruåts. algebraiskt tal, ven. алгебраúческое числό, kr. αλγεβρικός αριθμός , vir. algebraline arv, kiin. 代数数 [dàishùshù]).¹   Tämä luku (kehitelmänä 1,73 ...) on myös kokonainen algebrallinen luku eli algebrallinen kokonaisluku (olematta tavallinen kokonaisluku), koska yhtälössä on korkeimman asteen termin kertoimena 1!
  Kaikkien algebrallisten lukujen joukko on ääretön, mutta numeroituva.   Siihen kuuluvat myös kaikki rationaaliluvut.
  Algebrallisilla kokonaisluvuilla on samantapainen jaollisuusoppi kuin tavallisillakin kokonaisluvuilla, mutta paljon rikkaampi.
  Algebrallisten kokonaislukujen jaollisuutta tarkastellaan tavallisesti jonkin ns. algebrallisen lukukunnan puitteissa.   Esimerkin algebrallisesta lukukunnasta tarjoaa jostakin neliöjuuriluvusta, kuten 3:sta, muodostettujen kaikkien rationaalikertoimisten neliöjuuripolynomien joukko Q[3].
  Eräs tämmöinen neliöjuuripolynomi olisi vaikkapa −¾+0,83+4(3)², eli sehän on saatu polynomista −¾+0,8x+4x² sijoittamalla x:n arvoksi 3.   Koska neliöjuurten toiset (ja myös korkeammat) potenssit sieventyvät, on tuokin neliöjuuripolynomi yksinkertaisesti vain 11¼+0,83.   On selvää, että kaikki muutkin neliöjuuripolynomit “kutistuvat” korkeintaan kaksitermisiksi eli muotoon r+s3 (ns. kanoninen muoto), jossa r ja s ovat rationaalilukuja.
  Kaikkien mahdollisten r+s3-muotoisten lukujen joukko Q[3] on tavallisten peruslaskutoimitusten suhteen kunta.²  Kahden sellaisen luvun summa, erotus ja tulo on nimittäin helppo todeta samantyyppisiksi luvuiksi.   Lisäksi päästään semmoisten lukujen osamäärästä (a+b3) /(c+d3) aina ko. muotoon laventamalla lausekkeella c−d3 ja hieman muuntamalla. (Tarkastellusta kunnasta voidaan siis käyttää myös merkintää Q(3).)
  Kunnan Q[3] luvut ovat kaikki algebrallisia lukuja.   Näistä ovat algebrallisia kokonaislukuja ne m+n3 (ja vain ne), joissa m ja n ovat tavallisia kokonaislukuja.   (Tämä m+n3 toteuttaa näet yhtälön   x²−2mx+(m²−3n²) = 0, kuten voit laskemalla havaitata.)  Kaikista näistä alg. kokonaisluvuista muodostuu rengas Z[3], jossa voi tarkastella lukujen jaollisuutta.
  Kertolaskulla voi todentaa ko. renkaan kokonaisluvun −5+3 olevan kokonaislukujen 1+3 ja 4−33 tulo.   Kaksi viimeksimainittua ovat jopa tuon renkaan alkulukuja suunnilleen samassa mielessä kuin vaikkapa 2 ja −7 ovat tavallisten kokonaislukujen renkaan Z alkulukuja.   Siksi voi sanoa yhtälön
−5+3 = (1+3)(4−33)
esittävän alkutekijöihinjakoa samaan tapaan kuin Z:ssa esim. yhtälö  −14 = 2·(−7).
  Koska −14 voidaan tietenkin yhtä hyvin esittää myös tulona (−2)·7, niin alkutekijöihin jakaminen näyttää Z:ssa hieman monikäsitteiseltä.   Tämä johtuu luonnollisesti vain siitä, että yksikkötekijä (−1) on siirretty tulon toisesta tekijästä toiseen:
(2)·((−1)·7) = ((−1)·2)·(7)
  Periaatteessa samanlaista pientä (mutta vain näennäistä) monikäsitteisyyttä esiintyy Z[3]-renkaassakin, eli yksikkötekijöitä voidaan irroittaa alkutekijästä ja kiinnittää toiseen alkutekijään.   Eräs renkaan yksiköistä on 2+3; onhan se yhtälön
(2+3)(2−3) = 1
perusteella 1:n tekijä.   Jos se irrotetaan tulon (1+3)(4−33) ensimmäisestä tekijästä ja kerrotaan sen toiseen tekijään, niin saadaan uuden näköinen alkutekijäesitys
−5+3 = (−1+3)(−1−23).
Uudet tekijät eivät “periaatteessa” kuitenkaan eroa vanhoista sen enempää kuin 2·(−7)-tulon tekijät (−2)·7-tulon tekijöistä;
2 ja −2 ovat toistensa liitännäistekijöitä, samaten 1+3 ja –1+3,
niin ikään
−7 ja 7 ovat toistensa liitännäistekijöitä, samoin 4−33 ja −1−23.
Toistensa liitännäistekijät ovat alkutekijöinä tavallaan samanveroisia   –   ne saadaan toisistaan yksiköllä kertomalla (ja yksikkö on tavallaan ykkösen veroinen)!
  Mitä tulee algebrallisten kokonaislukujen renkaan Z[3] yksiköihin, niin niitä on peräti äärettömän monta (eikä vain kaksi kpl. niin kuin Z-renkaassa), nimittäin kaikki kokonaiset potenssit (2+3)n vastalukuineen eli siis esim. luvut  (2+3)² =  7+43   ja   −(2+3)−1 = −2+3.   (Kaikkien algebrallisten neliökuntien yksiköt löytyvät periaatteessa tästä!)
    1 Jokainen rationaaliluku m/n on ilmeisesti algebrallinen toteuttaessaan algebrallisen yhtälön   nx–m = 0.
    2 Q[3]-kunta sisältää alikuntanaan Q:n, eli kuntaan kuuluvat myös kaikki rationaaliluvut r+03.   Kunta Q[3] on siis saatu Q:sta laajentamalla tätä 3:n avulla eli adjungoimalla Q-kuntaan uusi luku 3.
    Samaan tapaan voitaisiin esim. reaalilukujen kuntaan R adjungoida uutena lukuna   −1:n neliöjuuri eli imaginaariyksikkö i, jolloin tuloksena olisi laajennuskunta R[i] eli R(i) eli kompleksilukujen kunta C.   Tämän luvut ovat siis “i-polynomeja” r+si, missä r ja s nyt ovat reaalilukuja.   Kaikki kompleksiluvut eivät ole algebrallisia, vaan valtaosa niistä on transsendenttilukuja.   Lisäjuttua kompleksiluvuista!
Mathesis-sivulle