Algebran
kunta1 (vir. korpus,
ransk. le corps, saks. der Körper, ruots. en kropp,
tansk. et legeme, engl. field, ven. пόле,
kr. σώμα, kiin. 域 [yù]) on jonkin sellaisen
alkiojoukon muodostamajärjestelmä, että sen sisällä voidaan suorittaa
neljää samanlaista peruslaskutoimitusta kuin tavallisilla luvuillakin.
Oleellista on yhteen- ja kertolaskun lakien voimassaolo,
esim. osittelulain
a(b+c) = ab+ac
a, b, c
Kunnassa on täten neutraalialkio eli
säkö
yhteenlaskussa (nolla-alkio "0") ja kertolaskussa (ykkösalkio "1").
Säkö ei vaikuta laskutoimituksen tulokseen
(0+a = a, samoin 1·a = a).
Kunnalta vaaditaan enemmän ominaisuuksia kuin
renkaalta, joten kunta on erikoistyyppinen rengas.
Tunnetuin kunta on rationaalilukujen
(eli kokonais- ja murtolukujen) kunta Q,
ja toinen olisi reaalilukujen
(lukusuoran kaikkien lukujen) kunta R. Nämä Q ja R ovat ns.
lukukuntia, joka yleensä tarkoittaa kompleksilukujen kuntaan C sisältyvää kuntaa.
Erilaisia kuntia on lukematon määrä semmoinenkin, joka
käsittää vain kaksi alkiota (siis
"0" ja "1"). Jos kunnan alkioitten
määrä on äärellinen, se on aina
alkuluvun kokonainen potenssi (esim.
26 eli 64). Tällöin puhutaan
Galois-kunnasta.
Galois-kuntia
sovelletaan mm. koodausteoriassa.
GELFANDin-TORNHEIMin
lause
(ote gradusta)
Kunnassa on aina yksi tai useampi arvotus eli
itseisarvon (muistathan: |6| = 6) kaltainen kuvaus eli funktio.
Galois-kunnassa ei ole muuta kuin yksi ainoa
arvotus (triviaaliarvotus) ja sekin on arvoiltaan niin köyhä, että siellä on
muiden paitsi nolla-alkion “arvo” aina 1. Tästä
johtuen ovat Galois-kunnan kaikki alkiot kokonaisia; kaikista
jakolaskuistakin on siis tulos aina kokonainen!
Kunnan ainoat ihanteet ovat muuten kunta itse ja nollaihanne
(sisältää vain nolla-alkion).
1Kunta on tuhansia vuosia vanha sana, joka esiintyy
enemmän tai vähemmän muuntuneena useimmissa
kaukaisimmissakin suomalais-ugrilaisissa sukukielissämme (esim. unkarin had tarkoittaa mm.
‘joukkoa’ ja ‘perhettä’). Eräitten tutkijoitten mukaan
se oli myös
kantauralissa eli uralilaisessa
kantakielessä
(ks. esim. RÉDEI KÁROLY [toim.]:
»Uralisches etymologisches Wörterbuch«. Budapest 1986).