Mitä ne paljon puhutut polynomit loppujen lopuksi oikein ovat?   Niitähän pakotetaan nykyjään jo kaikkien ihmisten opettelemaan, koska peruskoulu on käytännössä kaikille pakollinen.
  Koulussa opitaan polynomeja laskemaan yhteen, vähentämään niitä toisistaan, kertomaankin ja ehkä jakamaankin keskenään.   Niillä suoritetaan siis peruslaskutoimituksia (+,  −,  ·,  :) kuten tehdään luvuillakin (esim. kahden luvun summaksi saadaan aina jokin luku, niinpä saadaan kahden polynominkin summaksi aina jokin polynomi).
  Mutta eikö polynomeissa ole aina mukana kirjaimia, kuten x, ja taitaa joskus olla a ja ehkä joku muukin; lienee muistoissa semmoinen polynomilaskennan “muistikaava” kuin
(a+b)·(a−b) = a²−b².
  Mikä on kirjainten rooli polynomilaskuissa?   Sitä voi vähän ruveta epäilemään, kun vaikkapa kertolaskun 5x·(2−3x) tulokseksi saadaan 10x−15x², mutta aivan saman asian näyttää sisältävän lasku   5a·(2−3a) = 10a−15a².   Itse asia on siis vain kertoimissa (äskeisessä 5, 2, −3, 10, −15), mutta kirjaimet ovat yhdentekeviä!
  Jos siis tahdotaan mennä oikein polynomien “olemukseen”, niin on turhat kirjaimet jätettävä pois ja pelattava vain polynomien kertoimilla!
  Polynomi määräytyy kertoimistaan, jotka tavallisesti ovat lukuja (herää siis kysymys, mitä ovat luvut!).   Polynomissa on kertoimia, kuten tiedät, yksi tai kaksi, joskus kolmekin kappaletta, joskus jopa enemmän − miksei vaikka sata kpl − mutta tietysti aina rajoitettu määrä (eihän niitä voi olla äärettömän montaa, koska silloin ei edes periaatteessa voisi katsoa polynomin loppupäätä!).
  Polynomilaskennasta tiedät, että esim. 1−2x on eri kuin polynomi 1−2x5, vaikka kummassakin näkyy aivan samat kertoimet 1 ja −2.   Kumpikin polynomi käyttäytyy laskuissa eri tavalla, mikä johtuu tietysti siitä että −2 on eriasteisissa termeissä kertoimena; sen paikka voidaan ilmaista näyttämällä minkä astelukujen termit edeltävät 5. asteen termiä.   Jos tietynasteinen termi puuttuu, sen kertoimeksi voidaan katsoa nolla.   Esimerkkipolynomit voidaan siis kertoimet luetellen esittää seuraavasti:
1−2x:     (1, −2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
1−2x5:     (1, 0, 0, 0, 0, −2, 0, 0, 0, ...)
On selvintä, että kertoimien jono jatkuu varsinaisten kerrointen jälkeen nollilla, vaikka loputtomiin.   Nollasta eroavia kertoimia ei missään polynomissa kuitentaan ole kuin vain äärellinen määrä, mutta nollakertoimia on joka polynomissa äärettömän monta, nimittäin korkeimmanasteisen termin kertoimen jälkeisistä kaikki.   Nollapolynomissa on joka ainoa kerroin nolla, eli se on kerroinjonon muodossa
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...).
  Polynomi olisi siis kaikissa tapauksissa tulkittavissa päättymättömäksi kerroinjonoksi (a0, a1, a2, ...), jossa jostakin kohdasta alkaen on jokainen aj-luku nolla.   Polynomissa olisi niin monta jäsentä eli termiä kuin jonossa on nollasta eroavia lukuja; nollapolynomissa ei siis ole yhtään jäsentä.
  Kuinka sitten käyvät laskutoimitukset polynomeilla jos ne katsotaan tuollaisiksi pelkkien kertoimien lukujonoiksi?   Kuinka ensinnäkin saadaan polynomien (a0, a1, a2, ...) ja (b0, b1, b2, ...) summa?   No, lasketaan tietysti vastinkertoimet yhteen ja saadaan summapolynomiksi
(a0+b0,  a1+b1,  a2+b2,  ...).
Samojen kahden polynomin tulon kertoimet muodostuvat hiukan työläämmin − tulopolynomi olisi
(a0b0,   a0b1+a1b0,   a0b2+a1b1+ a2b0,   a0b3+a1b2+ a2b1+a3b0,  ...).
Siinä on kuhunkin kertoimeen ynnätty kaikki kerrointulot aibj joissa on alaviittojen summa sama (ensin 0, sitten 1, 2, 3 jne.).
  Jos polynomissa (a0, a1, a2, ...) ovat pelkkiä nollia kaikki muut paitsi a1, on kyseessä erikoinen polynomi (0, 1, 0, 0, 0, ...), jota voisi merkitä lyhyyden vuoksi x:llä tai muulla kirjaimella.   Kun sillä kertoo mielivaltaisen polynomin (b0, b1, b2, ...), on tulos (0, b0, b1, b2, ...).   Niinpä tuo x-polynomi toimii kertolaskussa kuten odottaisikin; vrt. laskua
x·(9+8x+7x²) = 0+9x+8x²+7x³.
Edelleen voi todeta vaikka että
(0, 1, 0, 0, 0, ...)·(0, 1, 0, 0, 0, ...) = (0, 0, 1, 0, 0, 0, ...),
mikä ilmeisesti vastaa hyvin tunnettua tosiseikkaa   x·x = x².
 Polynomi:   vir. polünoom, ruots. ett polynom, saks. das Polynom, engl. polynomial, tansk. et polynomium, ransk. un polynôme, kr. πολυώνυμος, ven. многочлéн, kiin. 多项式 [duōxiàngshì].   Kolme viimeksimainittua tarkoittavat suomeksi ‘monijäsentä’ eli ‘sellaista jossa on monta termiä’.   Niistä alkuperäisin on kreikankielinen [poly-oonymos].   Jos suomeenkin tahdottaisiin samaa tarkoittava täysin omakielinen polynomin nimitys, se voisi olla “monijäsen” tai “jäsenikkö”!