Rengas (engl. ring, ransk. un anneau, saks.
der Ring, ruots. en ring,
kr. δακτύλιος,
ven. кольцό,
vir. ring, kiin. 环 [huán]) on jonkin sellaisen alkiojoukon
muodostama järjestelmä, että sen sisällä voidaan
suorittaa kolmea samankaltaista laskutoimitusta kuin luvuilla yhteen-,
vähennys- ja kertolaskua, eli että näiden laskulait ovat
samanlaiset.
Renkaan yhteenlaskussa on erityisesti aina neutraalialkiona
eli säkönä ns.
nolla-alkio (merkitään: 0 tai ž). Pelkän kertolaskun
ominaisuuksista oletetaan vain
liitäntälaki
(ab)c = a(bc)
a, b, c,
eli kertolaskun ei tarvitse olla vaihdannainen.
Yhteen- ja kertolaskun yhdistää toisiinsa kuitenkin
osittelulaki (ks. kunta ja sen ominaisuudet).
Tunnetuin rengas lienee kokonaislukujen rengas
Z, mutta myös
vaikkapa kaikkien parillisten kokonaislukujen joukko muodostaa renkaan.
Rengas on samaten kaikkien reaalilukukertoimisten yhden muuttujan
(x) polynomien joukko R[x], kun
käytetään polynomien tavallisia laskutoimituksia.
Renkaan erikoistapauksia ovat mm. vaihdannainen rengas (esim. kaikki
edellä mainitut, joissa kertolasku on vaihdannainen), kokonaisalue,
arvotusrengas,
PRÜFERin rengas,
EUKLEIDEEN rengas,
pääihannerengas ja
kunta. Epävaihdannaisia
renkaita muodostuu esim.
matriiseista,
sillä matriisien kertolasku ei ole yleensä vaihdannaista.
Ihanteet ovat renkaan tietynlaisia alirenkaita.